ベクトル解析

2019年度中部大学講義（秋）
火曜 7〜8限　9号館 5階 951
担当：奥島 輝昭

目的

1. 様々な分野で利用されるベクトル解析を理解し、使えるようになること

概要:

全般的な参考文献：

1. 戸田盛和 「理工系の数学入門コース ベクトル解析」岩波書店
2. E. クライツィグ 「技術者のための高等数学 線形代数とベクトル解析」培風館
3. ベクトル解析の電磁気学への応用は、 ファインマン・レイトン・サンズ 「ファインマン物理学III 電磁気学」岩波書店\\ web版

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内容

0. ベクトル
1. ベクトルの内積と外積
2. ベクトルの微分と積分
   1. ベクトルの微分: \({\bf A}'(t)=\left(A'_1(t) ,A'_2(t) ,A'_3(t) \right) \)
   2. ベクトルの積分: \( \int {\bf A}(t) dt=\left(\int A_1(t) dt,\int A_2(t) dt,\int A_3(t) dt\right) \)
   3. 空間曲線と曲線の長さ
   4. 曲面と曲面の面積
   
   
3. スカラー場とベクトル場
   1. スカラー場の勾配(grad)：\(\nabla \phi(x,y,z) \)
   2. ベクトル場の発散(div)：\(\nabla \cdot {\bf A}(x,y,z) \)
   3. ベクトル場の回転(rot)：\(\nabla \times {\bf A}(x,y,z) \)
   4. grad, div, rotに関する諸公式： rot grad \( \phi(x,y,z)=0 \), div rot \( {\bf A}(x,y,z)=0 \)など
   
   
4. 線積分と面積分
   1. スカラー場の線積分：\(\int_C \phi ds\)
   2. ベクトル場の線積分：\(\int_C {\bf A}\cdot d{\bf r}\)
   3. スカラー場の面積分：\(\iint_S \phi dS\)
   4. ベクトル場の面積分：\(\iint_S {\bf A}\cdot{\bf n} \ dS\quad\) (ここで\(\bf n\)は曲面の法線方向の単位ベクトル)
   
   
5. 積分定理
   1. ガウスの発散定理: \(\iiint_V \mathrm{div} {\bf A}\ dV=\iint_S {\bf A}\cdot{\bf n}\ dS\)
   2. グリーンの定理
   3. ストークスの定理： \(\iint_S \mathrm{rot} {\bf A}\cdot{\bf n}\ dS=\int_C {\bf A}\cdot{\bf r}\)
   4. ヘルムホルツの定理：ベクトル場\({\bf A}(x,y,z)\)は
      \(A=-\mathrm{grad}\phi+\mathrm{rot}{\bf B}\)と、 渦なしベクトル場\(+\)わき出しなしベクトル場に分解できる。

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