解析学演習

2019年度中部大学講義（秋）
金曜 7〜8限　70号館3階 703A演習室
担当：奥島 輝昭

Last-updated: <2020/01/07 20:29:51>

目的

授業の到達目標及びテーマ

1. 学習指導要領（中学校数学）で示された学習内容を統一的に理解するのに必要な解析学の知識を習得する。
2. 微分法・積分法の意味を理解し、基礎的な計算やグラフの描画ができるようになる。
3. 中学校数学の学習内容に対して（例えば、底面積と高さの等しい三角錐が同じ体積をもつ理由について）、解析学の観点から平易な説明ができるようになる。

概要:

教科書

全般的な参考文献：

1. 寺田, 坂田 「微分積分」 (サイエンス社)
2. L.S. ポントリャーギン 「やさしい微積分」 (ちくま学芸文庫)
3. ゲルファント, やさしい数学入門 「関数とグラフ」 (ちくま学芸文庫)
4. 小林昭七, 「微積分読本 (1変数)」 (裳華房)
5. 奥村吉孝「基礎から学び考える力をつける微積分学」（培風館）

講義の連絡

レポートの連絡

テスト連絡

• [2019/11/8 中間試験]
  
• [2020/01/17 期末試験]
  
• [2020/01/31 期末追レポート]
  (1) \( 0 < x < 1,\ m=1,2,3,\dots \)のとき、 \( \sum_{k=0}^{2m+1}\frac{(2k-1)!!}{k!}\left(-\frac12\right)^k \frac{x^{2k}}{\sqrt{1-x^2}} <\frac1{\sqrt{1-x^4}}< \sum_{k=0}^{2m}\frac{(2k-1)!!}{k!}\left(-\frac12\right)^k \frac{x^{2k}}{\sqrt{1-x^2}} \)を示せ。
  ここで、\((2k-1)!!=(2k-1)(2k-3)\dots3\cdot 1,\ 1!!=1,\ (-1)!!=1\)である。
  ヒント： \(\frac1{\sqrt{1+x}}\quad (0 \leqq x \leqq 1)\)にテーラー・マクローリンの定理を適用し、 \( \frac1{\sqrt{1-x^4}}= \frac1{\sqrt{1-x^2}} \frac1{\sqrt{1+x^2}} \)を用いよ。
  (2) \( 0.79\times \frac{\pi}2 <\int_0^1 \frac1{\sqrt{1-x^4}}dx < 0.9\times\frac{\pi}2 \)を示せ。
  ヒント：(1)の不等式のそれぞれの辺を0から1まで積分し、その左辺と右辺に対して、 \(x=\sin\theta\)の置換積分と積分公式 \( \int_0^{\pi/2} \sin^n \theta d\theta=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\dots\frac34\frac12\frac{\pi}2 \) (\(n\)が偶数のとき)を用いよ。

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